Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 18)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;2} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}} = 4\) là

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là \(SA = \sqrt 2 a\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Cho số phức z thỏa mãn \(z\left( {3 + 2i} \right) + 14i = 5\) . Tìm môđun của số phức z.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;3;2} \right),B\left( {3; - 1;4} \right)\). Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

Số giao điểm tối đa của 40 đường tròn phân biệt là

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) làm hàm số nào trong các hàm số sau?

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3{\rm{x}} + 5\) nghịch biến trên khoảng nào?

Cho ba điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right),B\left( { - 1;0;4} \right),C\left( {0; - 2; - 1} \right)\). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

Cho 2 số phức \({z_1} = 1 + 2i\) và \({z_2} = 3 - 4i\). Số phức \(2{{\rm{z}}_1} + 3{{\rm{z}}_2} - {z_1}{z_2}\) là số phức nào sau đây?

Tính diện tích xung quanh của khối trụ S có bán kính đáy \(r = 4\) và chiều cao \(h = 3\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình dưới. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x - 2x\).

Với a, b là 2 số dương tùy ý thì \(\log \left( {{a^3}{b^2}} \right)\) có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại BC, \(BC = a\sqrt 3 ,AC = 2{\rm{a}}\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

Trong không gian Oxyz cho điểm \(I\left( {2;3;4} \right)\) và \(A\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa trục Oz và đi qua điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) có phương trình là

Cho \(b,c \in \mathbb{R}\) và phương trình \({z^2} + b{\rm{z}} + c = 0\) có một nghiệm là \({z_1} = 2 - i\), nghiệm còn lại gọi là \({z_2}\). Tính số phức \[{\rm{w}} = b{{\rm{z}}_1} + c{{\rm{z}}_2}\].

Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}\) với t (giây) là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

Cho hai hình trụ có bán kính đường tròn đáy lần lượt là \({R_1},{R_2}\) và chiều cao lần lượt là \({h_1},{h_2}\). Nếu hai hình trụ có cùng thể tích và \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = \frac{9}{4}\) thì tỉ số \(\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\) bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\ln {\rm{x}}}},\left( {x > 0;x \ne 1} \right)\).

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _4}{\left( {x - 5} \right)^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0\) là

Cho \({\log _{ab}}b = 3\) (với \(a > 0,b > 0,ab \ne 1\)). Tính \({\log _{\sqrt {ab} }}\left( {\frac{a}{{{b^2}}}} \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 7 = 0\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^x} - 12} \right)\left( {x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\) trên \(\mathbb{R}\). Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 4m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {12; + \infty } \right)\)?

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 + i} \right| = \left| {z + 1 - 2i} \right|\) và \(\left| {z + 4 - 2i} \right| = 3\sqrt 2 \)?

Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2018\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( {2{\rm{x}}} \right) + f\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)} \right]d{\rm{x}}} \).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 2;1} \right]\). Hình bên là đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua 4 điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {1;3;0} \right),C\left( { - 1;0;3} \right),D\left( {1;2;3} \right)\). Tính bán kính R của \(\left( S \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số \(y = f\left( {x + 2m - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 3 \right) = - \frac{{25}}{3}\) và \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}}\). Khi đó \(\int\limits_3^8 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng

Cho phương trình \(\log _3^2\left( {3{\rm{x}}} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + m - 2 = 0\) (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{3};3} \right]\) là

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc đó không vượt quá 5 bằng

Cho hình chóp S.ABC có \(AB = 3\). Hình chiều của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm H thuộc miền trong tam giác ABC sao cho \(\widehat {AHB} = 120^\circ \). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB, biết \(SH = 4\sqrt 3 \).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ điểm A đến \(\left( {SBC} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\), khoảng cách giữa SA, BC là \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\). Biết hình chiếu của S lên \(\left( {ABC} \right)\) nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết \(\int\limits_0^3 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = a\) và \(\int\limits_0^1 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = b\), \(\int\limits_1^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} = c\), \(f\left( 1 \right) = d\). Tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2}\). Số giá trị nguyên của m để phương trình \(f\left( {{x^4} - 4{{\rm{x}}^2} + 2} \right) = m\) (1) có đúng 4 nghiệm phân biệt là

Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z, iz và \(z + iz\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức \[{\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)z - 2\] là một đường tròn có bán kính bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right) =  - 2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 1\), \(\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 5 \right) = - 8\), tính \(I = \int\limits_0^5 {x.f'\left( x \right)d{\rm{x}}} \)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \[A\left( {1;2;3} \right)\] và mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} + y - 4{\rm{z}} + 1 = 0\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm A, song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\left( d \right)\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SBC} \right)\), \(\left( {SC{\rm{D}}} \right),{\rm{ }}\left( {S{\rm{D}}A} \right)\) với mặt đáy lần lượt là \(90^\circ ,{\rm{ }}60^\circ ,{\rm{ }}60^\circ ,{\rm{ }}60^\circ \). Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S, \(AB = a\) và chu vi tứ giác ABCD là 9a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình \(3f\left( {2 + 2\cos x} \right) - 4 = 0\) là

Cho phương trình \({\log _5}\left( {x + y} \right) + 2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3{\rm{x}}y - 11{\rm{x}} - 6y + 4 = 0\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương thỏa mãn phương trình trên.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) sao cho góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \({d_2}\) là lớn nhất là: \(ax - y + cz + d = 0\). Giá trị của \(T = a + c + d\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right),y = f\left[ {f\left( {2{\rm{x}} - 3} \right)} \right]\) và \(y = f\left( {{x^3} + x + 2} \right)\) lần lượt có các đồ thị \({C_1},{C_2},{C_3}\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của \({C_1}\) là \(y = x + 3\), phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của \({C_2}\) là \(y = 8{\rm{x}} + 5\). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị \({C_3}\).