ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Ứng dụng tích phân vào tính diện tích

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b (a<b) là: 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x^3-x;y=2x$ và các đường thẳng x=-1; x=1 được xác định bởi công thức:

Gọi S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^3,y=2-x$ và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-1$, trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:

Cho hai hàm số f(x)=-x và $g\left(x\right)=e^x$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=0,x=e là:

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=(x-1)e^x$, trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn [-3;3]là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ.

Tính $\underset{-3}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$, trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=2 bằng: (Đáp án là phân số tối giản)

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=f(x) trục hoành và hai đường thẳng x=-1, x=2 (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx,b=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$.  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=x^2-4$và y=x-4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn $x^2+y^2=\mathrm{2,}y>0$ và parabol $y=x^2$ bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn với đường cong y=4-|x| và trục hoành Ox là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hai phần A và B lần lượt là $\frac{16}{3} và \frac{63}{4}$. Tính $\underset{-1}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}f\left(2x+1\right)dx$

Cho hình vuông ABCD tâm O, độ dài cạnh là 4cm. Đường cong BOC là một phần của parabol đỉnh O chia hình vuông thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S₁ và S₂ (tham khảo hình vẽ).

Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng:

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2+1$và đường thẳng (d);y=mx+2. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới(P) và (d)  đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

Cho hàm số $y=x^4-3x^2+m$ có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi $S_1,S_2$ là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{*}$ và tối giản) để $S_1+S_2=S_3$. Giá trị của 2a−b bằng:  

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=m{x}^3+n{x}^2+px-\frac{5}{2}\left(m,n,p\in ℝ\right) \mathrm{và} g\left(x\right)=x^2+3x-1$có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với a,b,c là các số thực. Biết hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)+f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ có hai giá trị cực trị là −3 và 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)+6} và y=1$ bằng

Gọi S là diện tích của Ban Công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P)  và trục Ox). Giá trị của S là:

Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y=x^2$ và đường thẳng là y = 25. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vường nhỏ bằng 92.

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục Oxy thì nó có đỉnh (0;8) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là (−4;0). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.

Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình vuông cạnh 40(cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình $4x^2=y^4 \mathrm{và} 4{\left(\right|x|-1)}^3=y^2$ để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Một khung cửa kính hình parabol với đỉnh M và cạnh đáy AB như minh họa ở hình bên. Biết chi phí để lắp phần kính màu (phần tô đậm trong hình) là 200.000 đồng /m² và phần kính trắng còn lại là 150.000 đồng /m².Cho $MN=AB=4m \mathrm{và} MC=CD=DN$. Hỏi số tiền để lắp kính cho khung cửa như trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

Người ta cần trồng hoa tại phần đắt nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O , bán kính bằng $\frac{1}{\sqrt{2}}$và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt{2}$ và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón $\frac{100}{\left(2\sqrt{2}-1\right)\pi }kg$ phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?